Verifique a continuidade da função .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa verificar se a função é contínua quando . Isso envolve entender o conceito de continuidade, que basicamente garante que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função em e ver se todas elas estão bem definidas nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
Vamos verificar essas condições para cada componente da em .

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: . Aqui, substituindo , temos:
Isso resulta em uma divisão por zero, o que significa que essa parte da função não está definida em . Já temos um problema para a continuidade!

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda componente: . Substituindo , temos:
A raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais, então essa componente também não está definida em .

Passo 5

Por último, a terceira componente: . Substituindo , temos:
Aqui, tudo funciona direitinho e obtemos um valor real, já que o cosseno está bem definido para todo número real.

Passo 6

Mesmo que a terceira componente esteja bem definida, para a função ser contínua em , todas as componentes precisam estar definidas e contínuas naquele ponto. Como vimos, as duas primeiras componentes não estão definidas em , então a função inteira também não está definida nesse ponto.

Resposta

Portanto, a função não é contínua em porque algumas de suas componentes não estão definidas nesse ponto.

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Determine as medidas da altura e da base desse triângulo.
Verifique se é contínua em .
Verifique a continuidade de .