Verifique se a curva é contínua no ponto indicado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a curva dada por é contínua no ponto onde . Vamos usar conceitos de continuidade de funções vetoriais e verificar cada componente da curva individualmente para ver se tudo se encaixa direitinho.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função vetorial é contínua em um ponto se todas as suas componentes são contínuas nesse ponto. Então, vamos olhar para cada uma das três partes da nossa curva: a componente , a componente e a componente .

Passo 3

Vamos começar com a componente , que é . Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos. Isso significa que não há problemas para ; ela é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos para a componente , que é . Aqui precisamos ter cuidado porque temos um denominador que envolve , e , o que poderia nos dar uma divisão por zero. Mas vamos analisar o limite quando se aproxima de 0.

Passo 5

Sabemos que quando está perto de 0. Então, . Substituindo isso na nossa fração, temos:
Isso mostra que, no limite, a componente tende a 1 quando se aproxima de 0. Portanto, a componente é contínua em .

Passo 6

Finalmente, vamos olhar para a componente , que é . A função cosseno também é contínua em todos os pontos, incluindo . Então, não temos problemas aqui.

Resposta

Como todas as componentes da curva são contínuas em , podemos concluir que a curva é contínua no ponto indicado.

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Verifique a continuidade da função .
Verifique se é contínua em .