Verifique se a curva é contínua no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a curva dada por
é contínua no ponto onde
. Vamos usar conceitos de continuidade de funções vetoriais e verificar cada componente da curva individualmente para ver se tudo se encaixa direitinho.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função vetorial é contínua em um ponto se todas as suas componentes são contínuas nesse ponto. Então, vamos olhar para cada uma das três partes da nossa curva: a componente
, a componente
e a componente
.
Passo 3
Vamos começar com a componente
, que é
. Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos. Isso significa que não há problemas para
; ela é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos para a componente
, que é
. Aqui precisamos ter cuidado porque temos um denominador que envolve
, e
, o que poderia nos dar uma divisão por zero. Mas vamos analisar o limite quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Sabemos que
quando
está perto de 0. Então,
. Substituindo isso na nossa fração, temos:
Isso mostra que, no limite, a componente
tende a 1 quando
se aproxima de 0. Portanto, a componente
é contínua em
.
Passo 6
Finalmente, vamos olhar para a componente
, que é
. A função cosseno também é contínua em todos os pontos, incluindo
. Então, não temos problemas aqui.
Resposta
Como todas as componentes da curva
são contínuas em
, podemos concluir que a curva é contínua no ponto indicado.
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.)
Verifique a continuidade da função
.
Verifique se
é contínua em
.