Verifique se é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função vetorial é contínua em . Aqui, estamos lidando com continuidade de funções vetoriais, que envolve checar se cada componente da função é contínua no ponto em questão. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e analisar cada parte da nossa função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .
Como estamos lidando com uma função vetorial, precisamos que todas as componentes da função sejam contínuas em .

Passo 3

Vamos analisar a primeira componente da função: .
  • Definição: A função está definida para todos os valores de exceto quando , ou seja, .
  • Limite: Se tentarmos calcular o limite dessa função quando se aproxima de 1, percebemos que:
    • Se se aproxima de 1 pela direita ( ), vai para .
    • Se se aproxima de 1 pela esquerda ( ), vai para .
Como o limite não existe (vai para mais e menos infinito), essa primeira componente não é contínua em .

Passo 4

Mesmo que já tenhamos encontrado uma componente que não é contínua, vamos verificar as outras componentes para ficar claro:
  • Segunda componente:
    • Essa é um polinômio, que é contínuo em todos os pontos, inclusive em .
  • Terceira componente:
    • A função seno também é contínua em todos os pontos, inclusive em .

Passo 5

No entanto, para a função vetorial inteira ser contínua em , todas as componentes devem ser contínuas nesse ponto. Como a primeira componente não é contínua em , podemos concluir que a função vetorial não é contínua nesse ponto, mesmo que as outras componentes sejam contínuas.

Resposta

A função não é contínua em .

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Verifique a continuidade de .
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