Verifique se
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função vetorial
é contínua em
. Aqui, estamos lidando com continuidade de funções vetoriais, que envolve checar se cada componente da função é contínua no ponto em questão. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua e analisar cada parte da nossa função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se:
- A função está definida em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função em
.
Como estamos lidando com uma função vetorial, precisamos que todas as componentes da função sejam contínuas em
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira componente da função:
.
- Definição: A função
está definida para todos os valores de exceto quando , ou seja, . - Limite: Se tentarmos calcular o limite dessa função quando
se aproxima de 1, percebemos que: - Se
se aproxima de 1 pela direita ( ), vai para . - Se
se aproxima de 1 pela esquerda ( ), vai para .
- Se
Como o limite não existe (vai para mais e menos infinito), essa primeira componente não é contínua em
.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos encontrado uma componente que não é contínua, vamos verificar as outras componentes para ficar claro:
-
Segunda componente:
- Essa é um polinômio, que é contínuo em todos os pontos, inclusive em
.
- Essa é um polinômio, que é contínuo em todos os pontos, inclusive em
-
Terceira componente:
- A função seno também é contínua em todos os pontos, inclusive em
.
- A função seno também é contínua em todos os pontos, inclusive em
Passo 5
No entanto, para a função vetorial inteira ser contínua em
, todas as componentes devem ser contínuas nesse ponto. Como a primeira componente
não é contínua em
, podemos concluir que a função vetorial
não é contínua nesse ponto, mesmo que as outras componentes sejam contínuas.
Resposta
A função
não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Verifique a continuidade da função
.
Verifique se a curva é contínua no ponto indicado.
Verifique a continuidade de
.
A razão
é igual a 10. Determine a razão
.