Verifique a convergência ou divergência das sequências abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência converge ou diverge. Isso envolve conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades de radiciação. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades das raízes para entender o comportamento dessa sequência conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite o cálculo do limite quando tende ao infinito. Lembrando que a raiz -ésima de um número pode ser expressa como uma potência com expoente . Assim, temos:

Passo 3

Para encontrar o limite dessa sequência, vamos aplicar o logaritmo natural, que transforma a multiplicação em soma e a potência em multiplicação, facilitando o cálculo do limite. Então, vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos expandir usando propriedades dos logaritmos:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 5

Vamos calcular o limite de cada termo separadamente quando tende ao infinito:
Portanto:

Passo 6

Como o logaritmo natural de tende a 0, podemos concluir que:

Resposta

A sequência converge para 1 quando tende ao infinito.

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