Verifique a convergência ou divergência das sequências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso envolve conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades de radiciação. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades das raízes para entender o comportamento dessa sequência conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que facilite o cálculo do limite quando
tende ao infinito. Lembrando que a raiz
-ésima de um número pode ser expressa como uma potência com expoente
. Assim, temos:
Passo 3
Para encontrar o limite dessa sequência, vamos aplicar o logaritmo natural, que transforma a multiplicação em soma e a potência em multiplicação, facilitando o cálculo do limite. Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos expandir
usando propriedades dos logaritmos:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 5
Vamos calcular o limite de cada termo separadamente quando
tende ao infinito:
Portanto:
Passo 6
Como o logaritmo natural de
tende a 0, podemos concluir que:
Resposta
A sequência
converge para 1 quando
tende ao infinito.
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