Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty raiz[5]n^26^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo sobre séries infinitas e aplicar o Teste da Razão, que é útil para determinar o comportamento de séries que envolvem potências e termos exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumn=1^infty n^2/56^n . Isso pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 4

Vamos calcular an+1 = (n+1)^2/56^n+1 = (n+1)^2/56 cdot 6^n :

Passo 5

Agora, vamos encontrar an+1an = (n+1)^2/56 cdot 6^n cdot 6^nn^2/5 = (n+1)^2/56 cdot n^2/5 :
an+1an = (n+1)^2/5n^2/5 cdot 16
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos calcular o limite de limn to infty ( n+1n )^2/5 = limn to infty (1 + 1n)^2/5 = 1 conforme L = 1 cdot 16 = 16 tende ao infinito:
Então, o limite fica:

Passo 7

Como é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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