Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada:
. Essa é uma série alternada porque os termos alternam entre positivo e negativo devido ao
. Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar se a série converge.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que, se uma série tem termos que alternam de sinal, e os valores absolutos dos termos estão diminuindo de forma monotônica para zero, então a série converge. Ou seja, precisamos verificar duas coisas:
-
está diminuindo conforme aumenta. -
.
Passo 4
Vamos verificar o primeiro ponto:
. À medida que
aumenta,
também aumenta, e
se aproxima de
, já que a função arco-tangente tende a
quando seu argumento vai para infinito. Portanto,
está realmente diminuindo conforme
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos ao segundo ponto: calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Então, o limite é zero.
Passo 6
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, podemos concluir que a série
converge.
Passo 7
Além disso, podemos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Como
está se aproximando de
, podemos comparar com a série
, que é uma série p com
e, portanto, convergente. Assim, pela Comparação, nossa série também converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.
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Coloque V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, justificando logicamente sua resposta: Se a série
diverge então a sequência das suas somas parciais
diverge.
Coloque V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, justificando logicamente sua resposta: Podemos obter uma série
convergente com
.