Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada: . Essa é uma série alternada porque os termos alternam entre positivo e negativo devido ao . Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar se a série converge.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que, se uma série tem termos que alternam de sinal, e os valores absolutos dos termos estão diminuindo de forma monotônica para zero, então a série converge. Ou seja, precisamos verificar duas coisas:
  1. está diminuindo conforme aumenta.
  2. .

Passo 4

Vamos verificar o primeiro ponto: . À medida que aumenta, também aumenta, e se aproxima de , já que a função arco-tangente tende a quando seu argumento vai para infinito. Portanto, está realmente diminuindo conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos ao segundo ponto: calcular o limite de quando tende ao infinito.
Então, o limite é zero.

Passo 6

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, podemos concluir que a série converge.

Passo 7

Além disso, podemos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Como está se aproximando de , podemos comparar com a série , que é uma série p com e, portanto, convergente. Assim, pela Comparação, nossa série também converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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Use esta fórmula para calcular a soma das seguintes séries geométricas:
Coloque V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, justificando logicamente sua resposta: Se a série diverge então a sequência das suas somas parciais diverge.
Coloque V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, justificando logicamente sua resposta: Podemos obter uma série convergente com .