Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:

Passo 1

Vamos verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Precisamos entender como as potências e os termos da série se comportam quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa série é semelhante à série harmônica ponderada por uma razão geométrica. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Onde , então:

Passo 5

Calculando o limite:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Use esta fórmula para calcular a soma das seguintes séries geométricas:
Verifique a convergência ou divergência das sequências abaixo:
Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:
Coloque V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, justificando logicamente sua resposta: Se a série diverge então a sequência das suas somas parciais diverge.