Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty 3^nn 5^n

Passo 1

Vamos verificar se a série sumn=1^infty 3^nn cdot 5^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Precisamos entender como as potências e os termos da série se comportam quando n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que 3^n5^n pode ser reescrito como (35)^n. Assim, a série fica:
sumn=1^infty 3^nn cdot 5^n = sumn=1^infty (35)^nn

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa série é semelhante à série harmônica ponderada por uma razão geométrica. Para analisar a convergência, podemos usar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos envolvendo potências.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = (35)^nn, então:
an+1an = (35)^n+1n+1 cdot n(35)^n = 35 cdot nn+1

Passo 5

Calculando o limite:
L = limn to infty 35 cdot nn+1 = 35 cdot 1 = 35

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, L = 35 < 1, então a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^nn cdot 5^n converge.

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