Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Série Alternada para isso. Esse teste é útil quando a série tem sinais que alternam entre positivo e negativo, como nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. Cada termo geral é . Notamos que, além de alternar sinais, a parte sem o sinal é sempre positiva.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os devem ser decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar se é decrescente. Calculando a derivada de :
Para (onde é aproximadamente 2.718), , então para . Isso significa que nossa função é crescente para , mas para valores maiores de , o crescimento diminui. Assim, a sequência eventualmente se torna decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando vai para o infinito:
Isso porque cresce mais lentamente que , então a fração tende a zero.

Passo 6

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (os são eventualmente decrescentes e o limite é zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Série Alternada.

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Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
b)
Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
a)
Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
d)
Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
e)