Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Série Alternada para isso. Esse teste é útil quando a série tem sinais que alternam entre positivo e negativo, como nessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. Cada termo geral é
. Notamos que, além de alternar sinais, a parte sem o sinal é sempre positiva.
Passo 3
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
- Os
devem ser decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 4
Vamos verificar se
é decrescente. Calculando a derivada de
:
Para
(onde
é aproximadamente 2.718),
, então
para
. Isso significa que nossa função é crescente para
, mas para valores maiores de
, o crescimento diminui. Assim, a sequência
eventualmente se torna decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Isso porque
cresce mais lentamente que
, então a fração tende a zero.
Passo 6
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos (os
são eventualmente decrescentes e o limite é zero), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Série Alternada.
Exercícios relacionados
b)
a)
d)
e)