Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a série converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é a seguinte:
Se , a série converge.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos aj+1 = (j+1)^55^j+1 .
Agora, calculamos :
Passo 4
Agora, vamos formar o quociente aj+1aj = (j+1)^55^j+1 times 5^jj^5 = (j+1)^55 j^5 :
Passo 5
Simplificamos o quociente:
aj+1aj = (j+1)^55 j^5 = 15 ( j+1j )^5
Sabemos que aj+1aj = 15 (1 + 1j)^5 . Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando L = limj to infty 15 (1 + 1j)^5 = 15 times 1^5 = 15 tende ao infinito: