(6,0) Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
d) sumj=1^infty j^55^j

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a série converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é a seguinte:
L = limj to infty | aj+1aj |
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos aj+1 = (j+1)^55^j+1 .
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos formar o quociente aj+1aj = (j+1)^55^j+1 times 5^jj^5 = (j+1)^55 j^5 :

Passo 5

Simplificamos o quociente:
aj+1aj = (j+1)^55 j^5 = 15 ( j+1j )^5
Sabemos que aj+1aj = 15 (1 + 1j)^5 . Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limj to infty 15 (1 + 1j)^5 = 15 times 1^5 = 15 tende ao infinito:

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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