(6,0) Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
f) sumj=3^infty 1j ln (j)(ln (ln (j)))^n
no item f) considere n>1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma sumj=3^infty 1j ln(j) (ln(ln(j)))^n, onde n > 1. O nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um teste que nos ajude a determinar a convergência dessa série. Observando a expressão geral do termo da série, vemos que ela envolve funções logarítmicas compostas. Nesses casos, o Teste da Integral é uma boa opção porque podemos comparar a série com a integral de uma função contínua e decrescente equivalente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se a integral de uma função positiva, contínua e decrescente de k até o infinito converge, então a série correspondente também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Primeiro, definimos a função:
f(j) = 1j ln(j) (ln(ln(j)))^n
Precisamos verificar se a integral de f(j) de 3 até o infinito converge:
integral3^infty 1j ln(j) (ln(ln(j)))^n , dj

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = ln(ln(j)). Então, derivando ambos os lados:
du = 1ln(j) cdot 1j , dj
Rearranjando:
dj = j ln(j) , du
Substituindo na integral:
integral 1j ln(j) (ln(ln(j)))^n cdot j ln(j) , du = integral 1u^n , du
Agora, a integral fica:
integral 1u^n , du = integral u^-n , du
Sabemos que:
  • Se n > 1, a integral integral u^-n , du converge.
  • Se n <= 1, a integral diverge.
No nosso caso, como n > 1, a integral converge.

Resposta

A série sumj=3^infty 1j ln(j) (ln(ln(j)))^n converge pelo Teste da Integral.

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