Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
f)
no item f) considere
.
f)
no item f) considere
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma
, onde
. O nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um teste que nos ajude a determinar a convergência dessa série. Observando a expressão geral do termo da série, vemos que ela envolve funções logarítmicas compostas. Nesses casos, o Teste da Integral é uma boa opção porque podemos comparar a série com a integral de uma função contínua e decrescente equivalente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se a integral de uma função positiva, contínua e decrescente de
até o infinito converge, então a série correspondente também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Primeiro, definimos a função:
Precisamos verificar se a integral de
de
até o infinito converge:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Então, derivando ambos os lados:
Rearranjando:
Substituindo na integral:
Agora, a integral fica:
Sabemos que:
- Se
, a integral converge. - Se
, a integral diverge.
No nosso caso, como
, a integral converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.
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e)
d)
a)
b)