Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
f)
no item f) considere .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita da forma , onde . O nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (soma ao infinito). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um teste que nos ajude a determinar a convergência dessa série. Observando a expressão geral do termo da série, vemos que ela envolve funções logarítmicas compostas. Nesses casos, o Teste da Integral é uma boa opção porque podemos comparar a série com a integral de uma função contínua e decrescente equivalente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se a integral de uma função positiva, contínua e decrescente de até o infinito converge, então a série correspondente também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Primeiro, definimos a função:
Precisamos verificar se a integral de de até o infinito converge:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Então, derivando ambos os lados:
Rearranjando:
Substituindo na integral:
Agora, a integral fica:
Sabemos que:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.
No nosso caso, como , a integral converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
e)
Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
d)
Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
a)
Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
b)