Verifique a convergência das seguintes integrais:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida de
até
da função
. O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais improprias e análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções exponenciais e verificar se a área sob a curva dessa função é finita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observa que
pode ser reescrito usando a função hiperbólica cosseno, que é definida por
. Então, temos:
Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que a função
é conhecida como a função secante hiperbólica, ou
. A integral dessa função ao longo de todo o eixo real é uma integral bem conhecida:
Isso significa que:
Passo 4
Com isso, concluímos que a integral original
converge e seu valor é
.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
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s)
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x)
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