Verifique a convergência das seguintes integrais:
n) integral-infty^infty 1e^x+e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida de até da função . O conteúdo principal aqui envolve cálculo de integrais improprias e análise de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular funções exponenciais e verificar se a área sob a curva dessa função é finita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observa que e^x + e^-x = 2 cosh(x) pode ser reescrito usando a função hiperbólica cosseno, que é definida por integral-infty^infty 12 cosh(x) , dx = 12 integral-infty^infty 1cosh(x) , dx . Então, temos:
Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular integral-infty^infty 1cosh(x) , dx = pi . Sabemos que a função 12 integral-infty^infty 1cosh(x) , dx = pi2 é conhecida como a função secante hiperbólica, ou . A integral dessa função ao longo de todo o eixo real é uma integral bem conhecida:
Isso significa que:

Passo 4

Com isso, concluímos que a integral original converge e seu valor é .

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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