Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O enunciado quer que a gente verifique se essa série converge usando três métodos diferentes: o teste da série alternada, o teste da razão e o teste da raiz. Para isso, vamos precisar entender cada um desses testes e aplicá-los passo a passo na série apresentada.

Passo 2

Teste da Série Alternada
Primeiro, vamos aplicar o teste da série alternada. Esse teste é usado para séries que têm termos com sinais que alternam, como nessa série onde temos .
Para que a série alternada converja, dois requisitos devem ser atendidos:
  1. Os termos devem ser positivos.
  2. A sequência deve ser decrescente e convergir para zero conforme tende ao infinito.
No nosso caso, . Vamos verificar esses requisitos:
  • Positivos: Como e são positivos para todo , é positivo.
  • Decrescente: Vamos analisar se está diminuindo. Observamos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador , o que faz com que diminua conforme aumenta.
  • Convergem para zero: Calculando o limite de quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque a exponencial cresce muito mais rápido que .
Como todos os requisitos são atendidos, pelo teste da série alternada, a série converge.

Passo 3

Teste da Razão
Agora, vamos aplicar o teste da razão, que é útil para determinar a convergência de séries com termos positivos. Temos que:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Calculamos:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo teste da razão, a série converge.

Passo 4

Teste da Raiz
Por último, vamos usar o teste da raiz, que também é útil para séries com termos positivos. O teste é definido por:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; se , o teste é inconclusivo.
Usando , calculamos:
Sabemos que , então:
Como , pelo teste da raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelos três testes aplicados: teste da série alternada, teste da razão e teste da raiz.

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