Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
sumn=1^infty 11+9 n^2

Passo 1

Vamos verificar se a série converge usando o Teste da Integral. O Teste da Integral é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função . Para aplicar o Teste da Integral, a função deve ser positiva, contínua e decrescente para todo .
  • Positiva: é sempre positiva porque o denominador é sempre maior que zero.
  • Contínua: A função é contínua para todos os valores de , já que não há divisões por zero ou outras descontinuidades.
  • Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, a função é decrescente.

Passo 3

Com as condições atendidas, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria correspondente:
integral1^infty 11+9x^2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 11+9x^2 , dx = 13 arctan(3x) + C
Portanto,
integral1^infty 11+9x^2 , dx = [ 13 arctan(3x) ]1^infty

Passo 5

Calculando os limites:
limb to infty 13 arctan(3b) - 13 arctan(3 cdot 1)
Sabemos que 13 cdot pi2 - 13 arctan(3) = pi6 - 13 arctan(3) tende a quando tende a infinito. Assim,
Este valor é um número finito.

Passo 6

Como a integral converge para um número finito, pelo Teste da Integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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