Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:
Passo 1
Vamos verificar se a série
converge usando o Teste da Integral. O Teste da Integral é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função
. Para aplicar o Teste da Integral, a função deve ser positiva, contínua e decrescente para todo
.
- Positiva:
é sempre positiva porque o denominador é sempre maior que zero. - Contínua: A função
é contínua para todos os valores de , já que não há divisões por zero ou outras descontinuidades. - Decrescente: À medida que
aumenta, aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, a função é decrescente.
Passo 3
Com as condições atendidas, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria correspondente:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Portanto,
Passo 5
Calculando os limites:
Sabemos que
tende a
quando
tende a infinito. Assim,
Este valor é um número finito.
Passo 6
Como a integral
converge para um número finito, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.
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