Verifique se o Teste da Integral é aplicável aos casos abaixo e use-o para determinar se a série converge:

Passo 1

Vamos verificar se a série converge usando o Teste da Integral. O Teste da Integral é uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função . Para aplicar o Teste da Integral, a função deve ser positiva, contínua e decrescente para todo .
  • Positiva: é sempre positiva porque o denominador é sempre maior que zero.
  • Contínua: A função é contínua para todos os valores de , já que não há divisões por zero ou outras descontinuidades.
  • Decrescente: À medida que aumenta, aumenta, o que faz com que diminua. Portanto, a função é decrescente.

Passo 3

Com as condições atendidas, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria correspondente:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Portanto,

Passo 5

Calculando os limites:
Sabemos que tende a quando tende a infinito. Assim,
Este valor é um número finito.

Passo 6

Como a integral converge para um número finito, pelo Teste da Integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

Exercícios relacionados

Verifique a série quanto à convergência ou divergência usando o Teste da Divergência:
Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz:
Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
Verifique a convergência das séries usando os testes da série alternada, teste da razão e teste da raiz: