Verifique a série quanto à convergência ou divergência usando o Teste da Divergência:
sumn=1^infty raiznraizn+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge usando o Teste da Divergência. Esse teste é uma ferramenta básica em séries infinitas que nos ajuda a determinar rapidamente se uma série não converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Divergência. Ele diz que se o limite do termo geral da série, quando tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Ou seja, se , a série não soma para um valor finito.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = raiznraizn + 3
Agora, precisamos calcular o limite desse termo quando vai para o infinito.

Passo 4

Calcular o limite:
limn to infty raiznraizn + 3
Para facilitar, vamos dividir o numerador e o denominador por limn to infty raizn/raiznraizn/raizn + 3/raizn = limn to infty 11 + 3raizn :

Passo 5

Agora, analisando o que acontece quando limn to infty 11 + 0 = 1 vai para o infinito:
  • tende a 0 porque o denominador cresce sem limites.
    Então, temos:

Resposta

Como o limite do termo geral é 1, que não é zero, pelo Teste da Divergência, a série diverge.

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