Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial
é exata. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações exatas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma equação exata e como identificar se uma dada equação é exata. Se for exata, também vamos encontrar a solução geral dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. A gente tem:
Uma equação diferencial da forma
é chamada exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
e
, elas são iguais. Portanto, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, precisamos encontrar uma função
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.