Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a equação diferencial é exata. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações exatas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma equação exata e como identificar se uma dada equação é exata. Se for exata, também vamos encontrar a solução geral dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . A gente tem:
Uma equação diferencial da forma é chamada exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como e , elas são iguais. Portanto, a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a solução geral. Para isso, precisamos encontrar uma função tal que:
Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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