Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial apresentada é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas de
e
. A condição para exatidão é:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
A derivada de
em relação a
é um pouco trabalhosa, mas essencial para verificarmos a exatidão.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Como
é constante em relação a
, temos:
Passo 6
Comparando as derivadas parciais:
A menos que
, a equação não será exata. Vamos verificar se isso acontece.
Passo 7
Ao calcular
, percebemos que ela não é igual a zero devido à presença de termos
e
na derivada. Portanto:
Logo, a equação diferencial não é exata.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata, portanto não podemos encontrar uma solução geral utilizando métodos de equações exatas.