Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial apresentada é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas de e . A condição para exatidão é:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
A derivada de em relação a é um pouco trabalhosa, mas essencial para verificarmos a exatidão.

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Como é constante em relação a , temos:

Passo 6

Comparando as derivadas parciais:
A menos que , a equação não será exata. Vamos verificar se isso acontece.

Passo 7

Ao calcular , percebemos que ela não é igual a zero devido à presença de termos e na derivada. Portanto:
Logo, a equação diferencial não é exata.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata, portanto não podemos encontrar uma solução geral utilizando métodos de equações exatas.

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