Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de equações diferenciais exatas. Nosso objetivo é verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação exata. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, vamos calcular:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora comparamos as duas derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é exata, não podemos encontrar a solução geral diretamente usando o método das equações exatas. Portanto, concluímos que a equação diferencial fornecida não é exata.
Resposta
A equação diferencial fornecida não é exata.