Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e, se forem, encontre sua solução geral. d y/d x = (5 y - 2 x) / (-5 x + 3 y^2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de equações diferenciais exatas. Nosso objetivo é verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação exata. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos conferir se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, vamos calcular:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora comparamos as duas derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, não podemos encontrar a solução geral diretamente usando o método das equações exatas. Portanto, concluímos que a equação diferencial fornecida não é exata.

Resposta

A equação diferencial fornecida não é exata.

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