Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, precisamos entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver uma que seja.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, comparamos:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a integração em relação a
pode ter uma constante que depende de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Simplificando, percebemos que
, então:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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