Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, precisamos entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar e resolver uma que seja.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, comparamos:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece porque a integração em relação a pode ter uma constante que depende de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando às duas expressões:
Simplificando, percebemos que , então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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