Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função tem pontos de máximo, mínimo e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda. Vamos precisar encontrar as derivadas para identificar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada primeira nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde . Esses pontos são candidatos a máximo ou mínimo.
Resolvendo a equação:
Vamos calcular o discriminante ( ) para verificar se existem soluções reais:
Como o discriminante é negativo ( ), não existem soluções reais para . Isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo.

Passo 4

Agora, para verificar se existe ponto de inflexão, vamos calcular a derivada segunda da função. O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal.
Derivada segunda:
Vamos encontrar onde :

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da derivada segunda em torno de :
  • Para :
    Se :
    (negativo)
  • Para :
    Se :
    (positivo)
Como a derivada segunda muda de negativa para positiva passando por , isso significa que a concavidade da função muda de côncava para convexa, caracterizando um ponto de inflexão.

Resposta

A função não possui pontos de máximo ou mínimo, mas possui um ponto de inflexão em .

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d)
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i)
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b)