Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
tem pontos de máximo, mínimo e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda. Vamos precisar encontrar as derivadas para identificar esses pontos especiais na função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos ajuda a encontrar os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Esses pontos são candidatos a máximo ou mínimo.
Resolvendo a equação:
Vamos calcular o discriminante (
) para verificar se existem soluções reais:
Como o discriminante é negativo (
), não existem soluções reais para
. Isso significa que a função não tem pontos de máximo ou mínimo.
Passo 4
Agora, para verificar se existe ponto de inflexão, vamos calcular a derivada segunda da função. O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a derivada segunda muda de sinal.
Derivada segunda:
Vamos encontrar onde
:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da derivada segunda em torno de
:
-
Para
: Se: (negativo) -
Para
:
Se: (positivo)
Como a derivada segunda muda de negativa para positiva passando por
, isso significa que a concavidade da função muda de côncava para convexa, caracterizando um ponto de inflexão.
Resposta
A função
não possui pontos de máximo ou mínimo, mas possui um ponto de inflexão em
.
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