Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
i)
i)
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa verificar se ela tem máximos, mínimos e pontos de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas primeira e segunda. Vamos precisar encontrar as derivadas da função e analisar onde elas se anulam ou mudam de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos ajuda a identificar os pontos críticos, que podem ser máximos ou mínimos locais.
A função é:
Usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos usando a derivada segunda. Primeiro, encontramos
.
Passo 5
Encontrando a derivada segunda da função:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica um mínimo local em
.
Para
:
Como
, isso indica um máximo local em
.
Passo 6
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos resolver
:
Agora, verificamos se há mudança de concavidade nesse ponto. Avaliando
em valores próximos a
:
Para
, digamos
:
[ f’’(0) = -2 ) (concavidade para baixo)
Para
, digamos
:
[ f’’(1) = 4 ) (concavidade para cima)
Como houve mudança de concavidade,
é um ponto de inflexão.
Resposta
A função
apresenta:
- Um mínimo local em
- Um máximo local em
- Um ponto de inflexão em
Exercícios relacionados
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
e)
e)
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
a)
a)
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
b)
b)
Verifique se existe máximo, minimo e ponto de inflexão em cada função:
f)
f)