Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
a) (sen(y) - y sen(x) + x) dx + (cos(x) + x cos(y) + y) dy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma determinada forma diferencial é exata e, se for o caso, encontrar uma função potencial de onde ela deriva. Isso faz parte do estudo de formas diferenciais e cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma forma exata e quais são as condições para que uma forma seja considerada exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma diferencial dada:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se essa forma é exata, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, devemos verificar se:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Observamos que:

Passo 7

Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, podemos concluir que a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando ambos os lados:
Percebemos que , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Substituindo na expressão de :
Podemos ignorar a constante para a função potencial.

Resposta

A forma é exata, e uma função potencial que a deriva é:

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