Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma determinada forma diferencial é exata e, se for o caso, encontrar uma função potencial de onde ela deriva. Isso faz parte do estudo de formas diferenciais e cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma forma exata e quais são as condições para que uma forma seja considerada exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma diferencial dada:
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se essa forma é exata, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, devemos verificar se:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Observamos que:
Passo 7
Como as derivadas parciais cruzadas são iguais, podemos concluir que a forma diferencial é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando ambos os lados:
Percebemos que
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Podemos ignorar a constante
para a função potencial.
Resposta
A forma é exata, e uma função potencial que a deriva é:
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Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
b) .
b)
Expresse o número como uma razão de inteiros.
55. 1,234567
55. 1,234567
Verifique se a forma é exata e, nos casos afirmativos, determine um potencial do qual ela deriva.
d)
d)
Seja
colcule rot
.