Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
f(x) = { 3x + 2, se x < 2; x² + 3x - 2, se x ≥ 2 }

Passo 1

Então, vamos verificar se a função que você me mandou é contínua. A função é definida por partes:
A matéria aqui é sobre continuidade de funções, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, sabemos que polinômios como e são contínuos em todo lugar. Então, a única preocupação é no ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é em . Vamos focar em verificar a continuidade nesse ponto.

Passo 3

Para a função ser contínua em , três coisas precisam ser verdade:
  1. O limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) deve existir.
  2. O limite da função quando se aproxima de 2 pela direita ( ) deve existir.
  3. Esses dois limites devem ser iguais ao valor da função em , ou seja, .
Vamos calcular cada um deles:
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em :

Resposta

Como todos os limites e o valor da função em são iguais a 8, a função é contínua em todo o seu domínio.

Exercícios relacionados

[1 pt] Descreva e esboce o domínio da função f(x, y) = raiz(1 - y^2 - x^2) + ln(y - x).
Calcule: lim x 0 e^2 x-13 x
Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
g(x) = { x² - 4x + 1, se x < -1; 2x + 7, se x ≥ -1 }
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
(a) z = ln (|x| + |y| + 1)