Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (c1 e c2 são constantes) y = 2xy’ + y (y’)^2 ; y^2 = c1 (x + 1/4 c1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e uma função proposta, e o desafio é verificar se essa função realmente resolve a equação. A matéria que vamos mexer aqui é a de Equações Diferenciais, mais especificamente, vamos trabalhar com derivadas e substituições. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função dada e substituir na equação para ver se tudo fica igualzinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que a gente tem: $ y^2 = c_1 \left(x + \frac{1}{4} c_1\right) $. Para trabalhar com essa função na equação diferencial, precisamos achar a derivada dela em relação a $ x $. Vamos fazer isso agora.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação $ y^2 = c_1 \left(x + \frac{1}{4} c_1\right) $ em relação a $ x $, usando a regra da cadeia para o lado esquerdo:
Simplificando:
Então, isolando $ y’ $:
Passo 4
Agora que temos $ y’ $, vamos substituir esse valor na equação diferencial original que é $ y = 2x y’ + y (y’)^2 $. Vamos substituir passo a passo para ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, substituindo $ y’ $:
Simplificando a primeira parte:
E a segunda parte:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos juntar as duas frações do lado direito:
Multiplicando ambos os lados por $ y $ para eliminar o denominador:
E isso está exatamente igual à função que a gente tinha no início:
Resposta
Sim, a função $ y^2 = c_1 \left(x + \frac{1}{4} c_1\right) $ é uma solução da equação diferencial dada.