Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial (c1 e c2 são constantes) y = 2xy’ + y (y’)^2 ; y^2 = c1 (x + 1/4 c1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e uma função proposta, e o desafio é verificar se essa função realmente resolve a equação. A matéria que vamos mexer aqui é a de Equações Diferenciais, mais especificamente, vamos trabalhar com derivadas e substituições. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função dada e substituir na equação para ver se tudo fica igualzinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que a gente tem: $ y^2 = c_1 \left(x + \frac{1}{4} c_1\right) $. Para trabalhar com essa função na equação diferencial, precisamos achar a derivada dela em relação a $ x $. Vamos fazer isso agora.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação $ y^2 = c_1 \left(x + \frac{1}{4} c_1\right) $ em relação a $ x $, usando a regra da cadeia para o lado esquerdo:
y^2 = c1 (x + 14 c1)
Simplificando:
x
Então, isolando $ y’ $:
2y cdot dydx = c1 cdot (1 + 0)

Passo 4

Agora que temos $ y’ $, vamos substituir esse valor na equação diferencial original que é $ y = 2x y’ + y (y’)^2 $. Vamos substituir passo a passo para ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, substituindo $ y’ $:
y'
Simplificando a primeira parte:
y = 2x y' + y (y')^2
E a segunda parte:
y'
Então, a equação fica:
y = 2x (c12y) + y (c12y)^2

Passo 5

Vamos juntar as duas frações do lado direito:
y = x c1 + c1^24y
Multiplicando ambos os lados por $ y $ para eliminar o denominador:
y
E isso está exatamente igual à função que a gente tinha no início:
y^2 = x c1 + c1^24

Resposta

Sim, a função $ y^2 = c_1 \left(x + \frac{1}{4} c_1\right) $ é uma solução da equação diferencial dada.

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