Verifique se a função é contínua em .

Passo 1

Vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade em funções, que nos ajuda a entender se o gráfico de uma função é “sem quebras” em um determinado ponto. Precisamos analisar o comportamento da função perto de e ver se ela se comporta bem nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite da função existe quando se aproxima de .
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para em .

Passo 3

1. A função está definida em ?
Vamos calcular :
Dividir por zero não é definido na matemática. Portanto, não existe.

Passo 4

2. O limite da função existe quando se aproxima de 1?
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Ao analisar esse limite, percebemos que:
  • Se se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1), é um número muito pequeno positivo, então tende para .
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1), é um número muito pequeno negativo, então tende para .
Como os limites laterais não são iguais (um vai para e o outro para ), o limite geral não existe.

Passo 5

3. O limite da função é igual ao valor da função em ?
Como o limite não existe e também não está definido, essa condição não é satisfeita.

Resposta

A função não é contínua em , pois não está definida nesse ponto e o limite não existe.

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
(b)
Calcule os limites
(f) .
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: