Verifique se a função
é contínua em
.
Passo 1
Vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade em funções, que nos ajuda a entender se o gráfico de uma função é “sem quebras” em um determinado ponto. Precisamos analisar o comportamento da função perto de
e ver se ela se comporta bem nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite da função existe quando
se aproxima de . - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
em
.
Passo 3
1. A função está definida em
?
Vamos calcular
:
Dividir por zero não é definido na matemática. Portanto,
não existe.
Passo 4
2. O limite da função existe quando
se aproxima de 1?
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Ao analisar esse limite, percebemos que:
- Se
se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1), é um número muito pequeno positivo, então tende para . - Se
se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1), é um número muito pequeno negativo, então tende para .
Como os limites laterais não são iguais (um vai para
e o outro para
), o limite geral não existe.
Passo 5
3. O limite da função é igual ao valor da função em
?
Como o limite não existe e
também não está definido, essa condição não é satisfeita.
Resposta
A função
não é contínua em
, pois não está definida nesse ponto e o limite não existe.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
(b)
(b)
Calcule os limites
(f) .
(f)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: