Verifique se a funçâo f satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado [a, b], caso afirmativo, determine todos c in [a, b] tais que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
f(x) = x^3 - 5x^2 - 3x em [1,3];

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo . A pergunta é para verificar se essa função satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo. Se sim, precisamos encontrar todos os valores de dentro de que fazem a equação valer.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é o Teorema do Valor Médio.
  • Como calcular a derivada da função .
  • Como aplicar esses conceitos para encontrar o valor de .

Passo 2

O Teorema do Valor Médio afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um número em tal que:
Então, nosso primeiro passo é verificar se a função atende a essas condições no intervalo .

Passo 3

Como é um polinômio, sabemos que ela é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que inclui o intervalo . Portanto, a função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio nesse intervalo. Podemos seguir adiante para encontrar o valor de .

Passo 4

Vamos calcular a média da taxa de variação da função no intervalo . Isso é feito usando a fórmula:
Onde e .
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituímos na fórmula da média:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar tal que a derivada de em seja igual a . Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Então, queremos resolver a equação:

Passo 6

Vamos resolver a equação:
Primeiro, adicionamos 10 em ambos os lados para simplificar:
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

A função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . O valor de que satisfaz é:

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