Verifique se a funçâo
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado
, caso afirmativo, determine todos
tais que
.
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
. A pergunta é para verificar se essa função satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo. Se sim, precisamos encontrar todos os valores de
dentro de
que fazem a equação
valer.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- O que é o Teorema do Valor Médio.
- Como calcular a derivada da função
. - Como aplicar esses conceitos para encontrar o valor de
.
Passo 2
O Teorema do Valor Médio afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um número
em
tal que:
Então, nosso primeiro passo é verificar se a função
atende a essas condições no intervalo
.
Passo 3
Como
é um polinômio, sabemos que ela é contínua e diferenciável em todo o seu domínio, que inclui o intervalo
. Portanto, a função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio nesse intervalo. Podemos seguir adiante para encontrar o valor de
.
Passo 4
Vamos calcular a média da taxa de variação da função no intervalo
. Isso é feito usando a fórmula:
Onde
e
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, substituímos na fórmula da média:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
tal que a derivada de
em
seja igual a
. Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Então, queremos resolver a equação:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Primeiro, adicionamos 10 em ambos os lados para simplificar:
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
A função
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. O valor de
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções abaixo.
sabendo que
Racionalize o denominador
Adição e subtração de radicais semelhantes
Determine os pontos críticos das seguintes funçöes:
;