Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b) f(x, y) = { e^(1/(x² + y² - 1)) se x² + y² < 1; 0 se x² + y² ≥ 1 }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função dada é diferenciável. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar a continuidade da função e calcular suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y). Ela está definida de duas formas:
  • Se , então
  • Se , então
Isso significa que a função tem duas expressões diferentes dependendo se o ponto (x, y) está dentro ou fora do círculo de raio 1.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, primeiro precisamos checar se a função é contínua em todos os pontos, especialmente na fronteira onde . A continuidade é uma condição necessária para diferenciabilidade.

Passo 4

Analisando o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima da fronteira :
  • Dentro do círculo ( ), o denominador se aproxima de 0 por valores negativos, fazendo com que tende a -infinito. Logo, .
  • Fora do círculo ( ), diretamente.
Assim, o limite de f(x, y) na fronteira é 0, que coincide com o valor da função na fronteira. Portanto, f(x, y) é contínua em todos os pontos.

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas parciais de f(x, y) e ver se elas são contínuas na fronteira. As derivadas parciais envolvem derivar f(x, y) em relação a x e y.
Dentro do círculo ( ), derivamos a expressão usando a regra da cadeia. Fora do círculo, as derivadas são 0.
No entanto, ao tentar calcular as derivadas na fronteira, percebemos que elas não são contínuas ali, pois o comportamento da função dentro do círculo causa oscilações infinitas nas derivadas quando nos aproximamos da fronteira.

Resposta

A função f(x, y) não é diferenciável na fronteira onde .

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