Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor u_t = k u_xx, para alguma escolha conveniente de k.
u(x, t) = e^(-3t) sen(3x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é uma solução da equação do calor, que é dada por . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e ver se conseguimos encontrar um valor para que faça essa igualdade funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é . Quando derivamos em relação a , tratamos como constante:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é . Primeiro, encontramos a primeira derivada :
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

A equação do calor que precisamos satisfazer é . Substituindo as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que não seja zero):

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação do calor para .

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