Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor , para alguma escolha conveniente de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é uma solução da equação do calor, que é dada por . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e ver se conseguimos encontrar um valor para que faça essa igualdade funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é . Quando derivamos em relação a , tratamos como constante:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é . Primeiro, encontramos a primeira derivada :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Passo 4
A equação do calor que precisamos satisfazer é . Substituindo as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que não seja zero):
Passo 5
Resolvendo para :
Resposta
Sim, a função satisfaz a equação do calor para .
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Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
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