Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é uma solução da equação do calor, que é dada por
. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e ver se conseguimos encontrar um valor para
que faça essa igualdade funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como constante:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
. Primeiro, encontramos a primeira derivada
:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
A equação do calor que precisamos satisfazer é
. Substituindo as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que não seja zero):
Passo 5
Resolvendo para
:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação do calor para
.