Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função
é uma solução da equação das ondas, que é
. A equação das ondas descreve como as ondas se propagam no tempo e no espaço, e para essa função, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação ao tempo (
) e ao espaço (
) para ver se existe um valor de
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao tempo (
). A função
depende de
apenas através de
.
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo (
), que é
.
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a variável espaço (
). Primeiro, calculamos a primeira derivada de
em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia). Então:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
, que é
.
A derivada de
em relação a
é
(novamente, aplicando a regra da cadeia). Então:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na equação das ondas para ver se a relação
se mantém.
Temos:
Substituindo na equação das ondas:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que não sejam zero), ficando:
Resolvendo para
:
Resposta
A função
é solução da equação das ondas para
.
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, para alguma escolha conveniente de
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