Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas u_tt = c^2 u_xx, para alguma escolha conveniente de c.
u(x, t) = senh(t) sen(3x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função é uma solução da equação das ondas, que é . A equação das ondas descreve como as ondas se propagam no tempo e no espaço, e para essa função, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação ao tempo ( ) e ao espaço ( ) para ver se existe um valor de que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação ao tempo ( ). A função depende de apenas através de .
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo ( ), que é .
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a variável espaço ( ). Primeiro, calculamos a primeira derivada de em relação a .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia). Então:

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a , que é .
A derivada de em relação a é (novamente, aplicando a regra da cadeia). Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na equação das ondas para ver se a relação se mantém.
Temos:
Substituindo na equação das ondas:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que não sejam zero), ficando:
Resolvendo para :

Resposta

A função é solução da equação das ondas para .

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