Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se a função satisfaz a equação das ondas , onde é uma constante que podemos escolher. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois ver se conseguimos encontrar um valor para que faça a equação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . A função tem uma parte dependente de , que é .
A derivada primeira de em relação a é:
Agora, a derivada segunda de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . A função tem uma parte dependente de , que é .
A derivada primeira de em relação a é:
Agora, a derivada segunda de em relação a é:

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na equação das ondas:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por 2:
Isso nos dá:

Resposta

A função é uma solução da equação das ondas para ou .

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