Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
satisfaz a equação das ondas
, onde
é uma constante que podemos escolher. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois ver se conseguimos encontrar um valor para
que faça a equação funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é
. A função
tem uma parte dependente de
, que é
.
A derivada primeira de
em relação a
é:
Agora, a derivada segunda de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, que é
. A função
tem uma parte dependente de
, que é
.
A derivada primeira de
em relação a
é:
Agora, a derivada segunda de
em relação a
é:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na equação das ondas:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 2:
Isso nos dá:
Resposta
A função
é uma solução da equação das ondas
para
ou
.
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, para alguma escolha conveniente de
.
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, para alguma escolha conveniente de
.