Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: T: R^2->R^3 tal que T(x, y)=(1, x, x+y)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (1, x, x+y). Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais são os critérios para ela ser considerada como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear precisa obedecer a duas propriedades principais:
  1. Preservar a adição de vetores: ou seja, T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v.
  2. Preservar a multiplicação por escalar: ou seja, T(cu) = cT(u) para qualquer vetor u e escalar c.
Além disso, uma transformação linear sempre manda o vetor zero no espaço de partida no vetor zero no espaço de chegada, ou seja, T(0) = 0.

Passo 3

Vamos começar verificando se a função T manda o vetor zero para o zero. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Aplicando a função T:
T(0, 0) = (1, 0, 0 + 0) = (1, 0, 0)
Mas, para ser uma transformação linear, esperaríamos que T(0, 0) = (0, 0, 0). Como isso não acontece, já podemos concluir que T não é uma transformação linear.

Passo 4

Mesmo assim, para reforçar nossa conclusão, vamos verificar as outras propriedades. Vamos ver se T preserva a adição de vetores. Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2).
Primeiro, calculamos T(u + v):
T(x1 + x2, y1 + y2) = (1, x1 + x2, (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (1, x1 + x2, x1 + x2 + y1 + y2)
Agora, calculamos T(u) + T(v):
T(x1, y1) + T(x2, y2) = (1, x1, x1 + y1) + (1, x2, x2 + y2) = (1 + 1, x1 + x2, x1 + y1 + x2 + y2) = (2, x1 + x2, x1 + x2 + y1 + y2)
Claramente, T(u + v) neq T(u) + T(v), já que o primeiro componente é diferente (1 vs 2). Isso confirma que a função T não preserva a adição de vetores.

Passo 5

Por fim, vamos ver se T preserva a multiplicação por escalar. Seja c um escalar e u = (x, y).
Calculamos T(cu):
T(cx, cy) = (1, cx, cx + cy) = (1, cx, c(x + y))
Agora, calculamos cT(u):
cT(x, y) = c(1, x, x + y) = (c cdot 1, c cdot x, c(x + y)) = (c, cx, c(x + y))
Para que T preserve a multiplicação por escalar, precisaríamos que (1, cx, c(x + y)) = (c, cx, c(x + y)). Isso só acontece se c = 1, o que não é geral. Portanto, T também não preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

A função T(x, y) = (1, x, x+y) não é uma transformação linear.

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