Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares: tal que

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais são os critérios para ela ser considerada como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear precisa obedecer a duas propriedades principais:
  1. Preservar a adição de vetores: ou seja, para quaisquer vetores e .
  2. Preservar a multiplicação por escalar: ou seja, para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre manda o vetor zero no espaço de partida no vetor zero no espaço de chegada, ou seja, .

Passo 3

Vamos começar verificando se a função manda o vetor zero para o zero. O vetor zero em é . Aplicando a função :
Mas, para ser uma transformação linear, esperaríamos que . Como isso não acontece, já podemos concluir que não é uma transformação linear.

Passo 4

Mesmo assim, para reforçar nossa conclusão, vamos verificar as outras propriedades. Vamos ver se preserva a adição de vetores. Seja e .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Claramente, , já que o primeiro componente é diferente (1 vs 2). Isso confirma que a função não preserva a adição de vetores.

Passo 5

Por fim, vamos ver se preserva a multiplicação por escalar. Seja um escalar e .
Calculamos :
Agora, calculamos :
Para que preserve a multiplicação por escalar, precisaríamos que . Isso só acontece se , o que não é geral. Portanto, também não preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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