Verifique se as funções abaixo são transformações Lineares:
tal que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é uma transformação linear. Para isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais são os critérios para ela ser considerada como tal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear precisa obedecer a duas propriedades principais:
- Preservar a adição de vetores: ou seja,
para quaisquer vetores e . - Preservar a multiplicação por escalar: ou seja,
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre manda o vetor zero no espaço de partida no vetor zero no espaço de chegada, ou seja,
.
Passo 3
Vamos começar verificando se a função
manda o vetor zero para o zero. O vetor zero em
é
. Aplicando a função
:
Mas, para ser uma transformação linear, esperaríamos que
. Como isso não acontece, já podemos concluir que
não é uma transformação linear.
Passo 4
Mesmo assim, para reforçar nossa conclusão, vamos verificar as outras propriedades. Vamos ver se
preserva a adição de vetores. Seja
e
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Claramente,
, já que o primeiro componente é diferente (1 vs 2). Isso confirma que a função
não preserva a adição de vetores.
Passo 5
Por fim, vamos ver se
preserva a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Para que
preserve a multiplicação por escalar, precisaríamos que
. Isso só acontece se
, o que não é geral. Portanto,
também não preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.
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