Verifique se as funções são contínuas: h(x)= raizx-2x-4 & se x neq 4 14 & se x=4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função h(x) é contínua. Continuidade é um conceito fundamental no cálculo que, basicamente, diz se a função tem “saltos” ou “pulos”. Se não tem, a função é contínua naquele ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que define a continuidade de uma função em um ponto e aplicar isso à função dada:
h(x)= raizx - 2x - 4 & se x neq 4 14 & se x = 4

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto a. A função f(x) é contínua em x = a se três condições forem satisfeitas:
  1. f(a) está definida: Ou seja, f(a) existe.
  2. O limite de f(x) quando x tende a a existe.
  3. O limite de f(x) quando x tende a a é igual a f(a).
Então, vamos aplicar isso à nossa função h(x) no ponto onde ela pode ter algum problema, que é x = 4.

Passo 3

Vamos verificar cada uma das três condições para x = 4:
  1. f(4) está definida?
    Sim, pela definição da função, h(4) = 14.
  2. O limite de h(x) quando x tende a 4 existe?
    Vamos calcular:
    limx to 4 raizx - 2x - 4
    Se tentarmos substituir x = 4 diretamente, obtemos 00, que é indeterminado. Então, precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
    Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador para simplificar:
    raizx - 2x - 4 times raizx + 2raizx + 2 = (raizx)^2 - 2^2(x - 4)(raizx + 2) = x - 4(x - 4)(raizx + 2)
    Simplificando, temos:
    1raizx + 2
    Agora, podemos facilmente calcular o limite:
    limx to 4 1raizx + 2 = 1raiz4 + 2 = 12 + 2 = 14
  3. O limite é igual a f(4)?
    Sim, o limite quando x tende a 4 é 14, que é exatamente f(4).

Resposta

Como todas as condições para a continuidade são satisfeitas em x = 4 e a função está definida e contínua para outros valores de x, concluímos que a função h(x) é contínua em todo o seu domínio.

Exercícios relacionados

Verifique se as funções são contínuas: g(x) = { 2 se x = 1, 1/(x-2)^2 se x ≠ 2, 3 se x = 2 }
Determine o domínio das seguintes funções: h(x, y) = raiz(x + y + 1) / (x - 1)
Seja a função f(x, y)=2 x y-4 y; partial fpartial x(x, y)
Calcule os limites: lim x infty raiz[2]2 x^2-7x-3=