Verifique se (I,+,. ) e um ideal do anel (A,+,. ) em cada um dos seguintes casos:
I=3 Z cup 7 Z, A=Z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se é um ideal no anel . Aqui, estamos trabalhando com teoria dos anéis, especificamente com ideais no anel dos números inteiros. Para resolver, vamos ver o que é um ideal e checar se atende às condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ideal. Em um anel, um subconjunto é chamado de ideal se ele satisfaz duas condições principais:
  1. Fechamento pela soma e subtração: Se você pegar dois elementos em e somar ou subtrair, o resultado também está em .
  2. Absorção pela multiplicação do anel: Se você multiplicar qualquer elemento de por qualquer elemento do anel , o resultado ainda está em .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Isso significa que é a união dos múltiplos de 3 e dos múltiplos de 7. Por exemplo, inclui números como 3, 6, 7, 9, 12, 14, etc.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição para ser um ideal: fechamento pela soma. Vamos pegar dois elementos de e somar. Por exemplo, 3 (que está em ) e 7 (que está em ). A soma deles é 10. Será que 10 está em ? Bem, 10 não é múltiplo de 3 nem de 7, então 10 não está em .

Passo 5

Como já vimos que a soma de dois elementos de nem sempre está em , a primeira condição para ser um ideal não é satisfeita. Não precisamos verificar a segunda condição, porque se uma das condições falhar, não é um ideal.

Resposta

Então, não é um ideal do anel .

Exercícios relacionados

Dada a matriz A=(lll2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 2 & 0),
(a) calcule A+A^t.
Verifique se (I,+,. ) e um ideal do anel (A,+,. ) em cada um dos seguintes casos:
I=2 Z, A=Z com as operações de adição usual de inteiros e multiplicação definida por x y=0, para quaisquer x, y in Z;
Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(a) A=(ll4 & 2 7 & 6)
Determine n in N tal que 5 Z cap 7 Z=n Z.