Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre verificar se é um ideal no anel . Aqui, estamos trabalhando com teoria dos anéis, especificamente com ideais no anel dos números inteiros. Para resolver, vamos ver o que é um ideal e checar se atende às condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ideal. Em um anel, um subconjunto é chamado de ideal se ele satisfaz duas condições principais:
Fechamento pela soma e subtração: Se você pegar dois elementos em e somar ou subtrair, o resultado também está em .
Absorção pela multiplicação do anel: Se você multiplicar qualquer elemento de por qualquer elemento do anel , o resultado ainda está em .
Passo 3
Agora, vamos analisar . Isso significa que é a união dos múltiplos de 3 e dos múltiplos de 7. Por exemplo, inclui números como 3, 6, 7, 9, 12, 14, etc.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição para ser um ideal: fechamento pela soma. Vamos pegar dois elementos de e somar. Por exemplo, 3 (que está em ) e 7 (que está em ). A soma deles é 10. Será que 10 está em ? Bem, 10 não é múltiplo de 3 nem de 7, então 10 não está em .
Passo 5
Como já vimos que a soma de dois elementos de nem sempre está em , a primeira condição para ser um ideal não é satisfeita. Não precisamos verificar a segunda condição, porque se uma das condições falhar, não é um ideal.