Verifique se mu(x, y, z) = e^(3x + 4y), sen 5 z satisfaz à equaçã de Laplace: mu_xx + mu_yy + mu_zz = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Aqui, , , e representam as segundas derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente. Para resolver isso, vamos calcular cada uma dessas derivadas e ver se a soma delas realmente é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar calculando a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem a parte que depende de . Primeiro, derivamos essa parte em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a para obter :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Similar ao , a parte depende de . Derivando em rela��ão a :
E derivando novamente em relação a para obter :

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A parte que depende de é . Derivando em relação a :
Derivando novamente em relação a para obter :

Passo 5

Agora que temos todas as segundas derivadas parciais, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
Vamos somar os coeficientes:
Portanto:

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação de Laplace, pois .

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