Verifique se
, sen
satisfaz à equaçã de Laplace:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Aqui,
,
, e
representam as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente. Para resolver isso, vamos calcular cada uma dessas derivadas e ver se a soma delas realmente é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar calculando a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem a parte
que depende de
. Primeiro, derivamos essa parte em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
para obter
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Similar ao
, a parte
depende de
. Derivando em rela��ão a
:
E derivando novamente em relação a
para obter
:
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A parte que depende de
é
. Derivando em relação a
:
Derivando novamente em relação a
para obter
:
Passo 5
Agora que temos todas as segundas derivadas parciais, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
Vamos somar os coeficientes:
Portanto:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.
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Resolva em
as inequações abaixo:
(f) ;
(f)
Resolva em
as inequações abaixo:
© ;
©
Emi cada caso, dada
, encontre:
&
:
;
Resolva em
as inequações abaixo:
(f) ;
(f)