Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especialmente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, calcular a matriz de , encontrar seus autovalores e verificar se existem três autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador por uma matriz. Em álgebra linear, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base. Neste caso, como estamos trabalhando em , a matriz será .
A matriz de é:
Isso porque:
A primeira coordenada de é , o que corresponde à primeira linha da matriz.
A segunda coordenada é , correspondendo à segunda linha.
A terceira coordenada é , correspondendo à terceira linha.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Autovalores são números A - lambda I = 3 - lambda & 0 & 0 0 & 2 - lambda & -5 0 & 1 & -2 - lambda tais que existe um vetor não nulo (3 - lambda) cdot det 2 - lambda & -5 1 & -2 - lambda para o qual (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-5)(1) = (2 - lambda)(-2 - lambda) + 5 .
Para encontrar -4 -2lambda + 2lambda + lambda^2 + 5 = lambda^2 + 1 , resolvemos o determinante da matriz (3 - lambda)(lambda^2 + 1) = 0 igual a zero:
A equação não tem soluções reais, então o único autovalor real é .
Passo 4
Como temos apenas um autovalor real ( 0 & 0 & 0 0 & -1 & -5 0 & 1 & -5 x y z = 0 0 0 ), precisamos verificar a multiplicidade desse autovalor e a existência de autovetores correspondentes.
A multiplicidade algébrica de 0x + 0y + 0z = 0 -1y - 5z = 0 y - 5z = 0 é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Neste caso, -1y - 5z = 0 implies y = -5z é uma raiz simples (degeneração 1).
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a . Procuramos vetores não nulos que satisfazem :
[
]
Isso resulta no sistema:
Das duas últimas equações, vemos que são equivalentes:
Então, os autovetores têm a forma . Podemos escolher valores para e . Por exemplo, se e , temos o autovetor .
Passo 5
Para o operador ser diagonalizável, precisamos de três autovetores linearmente independentes, correspondentes aos três autovalores (no caso real, considerando multiplicidades).
No entanto, encontramos apenas um autovalor real () com um único autovetor real associado. Além disso, os outros autovalores são complexos (), que não são considerados em .
Como não temos três autovetores reais lineares independentes, o operador não é diagonalizável em .
Resposta
O operador não é diagonalizável em porque não possui três autovetores reais linearmente independentes.