Verifique se os operadores são diagonalizáveis. T: R^3 longrightarrow R^3 ; T(x, y, z)=(3 x, 2 y-5 z, y-2 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especialmente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, calcular a matriz de , encontrar seus autovalores e verificar se existem três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 3 & 0 & 0 0 & 2 & -5 0 & 1 & -2 por uma matriz. Em álgebra linear, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base. Neste caso, como estamos trabalhando em , a matriz será .
A matriz de é:
Isso porque:
  • A primeira coordenada de é , o que corresponde à primeira linha da matriz.
  • A segunda coordenada é , correspondendo à segunda linha.
  • A terceira coordenada é , correspondendo à terceira linha.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Autovalores são números A - lambda I = 3 - lambda & 0 & 0 0 & 2 - lambda & -5 0 & 1 & -2 - lambda tais que existe um vetor não nulo (3 - lambda) cdot det 2 - lambda & -5 1 & -2 - lambda para o qual (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-5)(1) = (2 - lambda)(-2 - lambda) + 5 .
Para encontrar -4 -2lambda + 2lambda + lambda^2 + 5 = lambda^2 + 1 , resolvemos o determinante da matriz (3 - lambda)(lambda^2 + 1) = 0 igual a zero:
(3 - lambda)(lambda^2 + 1) = 0 implies lambda = 3 ou lambda^2 + 1 = 0
Onde é a matriz identidade .
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Calculando o determinante menor:
Multiplicando:
Então, o determinante total é:
Igualando a zero:
A equação não tem soluções reais, então o único autovalor real é .

Passo 4

Como temos apenas um autovalor real ( 0 & 0 & 0 0 & -1 & -5 0 & 1 & -5 x y z = 0 0 0 ), precisamos verificar a multiplicidade desse autovalor e a existência de autovetores correspondentes.
A multiplicidade algébrica de 0x + 0y + 0z = 0 -1y - 5z = 0 y - 5z = 0 é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Neste caso, -1y - 5z = 0 implies y = -5z é uma raiz simples (degeneração 1).

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a . Procuramos vetores não nulos que satisfazem :
[


]
Isso resulta no sistema:
Das duas últimas equações, vemos que são equivalentes:
Então, os autovetores têm a forma . Podemos escolher valores para e . Por exemplo, se e , temos o autovetor .

Passo 5

Para o operador ser diagonalizável, precisamos de três autovetores linearmente independentes, correspondentes aos três autovalores (no caso real, considerando multiplicidades).
No entanto, encontramos apenas um autovalor real ( ) com um único autovetor real associado. Além disso, os outros autovalores são complexos ( ), que não são considerados em .
Como não temos três autovetores reais lineares independentes, o operador não é diagonalizável em .

Resposta

O operador não é diagonalizável em porque não possui três autovetores reais linearmente independentes.

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