Verifique se o subconjunto S do espaço com produto interno V é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais?
V=R^3 com o produto interno usual, S=(0,1,0),(0,0,1).

Passo 1

Então, temos um exercício sobre espaços com produto interno, mais especificamente no espaço com o produto interno usual. A gente vai verificar se o subconjunto é ortogonal e também identificar quais desses vetores são parte de um conjunto ortonormal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser ortogonal e ortonormal, e como calcular produtos internos e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonal. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. No nosso caso, temos dois vetores: e .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e u cdot v = 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 . O produto interno no é dado por:
Substituindo os valores:
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Agora, vamos verificar se o conjunto é ortonormal. Para isso, além de ser ortogonal, cada vetor do conjunto precisa ter norma igual a 1. A norma de um vetor |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é calculada por:
|u| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1
Vamos calcular as normas de |v| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1 e :
Como ambos os vetores têm norma igual a 1, o conjunto é ortonormal.

Resposta

O subconjunto é ortogonal e também é um conjunto ortonormal.

Exercícios relacionados

Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
u, v, u+2 v
Exiba um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas a seguir.
lx=2 t, y=-1, z=2-t, t in R.
Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(1,2,4), v1=(1,0,0), v2=(0,1,2).