Verifique se o subconjunto do espaço com produto interno é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais? com o produto interno usual, .
Passo 1
Então, temos um exercício sobre espaços com produto interno, mais especificamente no espaço com o produto interno usual. A gente vai verificar se o subconjunto é ortogonal e também identificar quais desses vetores são parte de um conjunto ortonormal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser ortogonal e ortonormal, e como calcular produtos internos e normas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser ortogonal. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. No nosso caso, temos dois vetores: e .
Passo 3
Vamos calcular o produto interno entre e . O produto interno no é dado por:
Substituindo os valores:
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Agora, vamos verificar se o conjunto é ortonormal. Para isso, além de ser ortogonal, cada vetor do conjunto precisa ter norma igual a 1. A norma de um vetor é calculada por:
Vamos calcular as normas de e :
Como ambos os vetores têm norma igual a 1, o conjunto é ortonormal.
Resposta
O subconjunto é ortogonal e também é um conjunto ortonormal.