Verifique se é possível usar a regra de L lim x 3 raiz[5]x^3-3 x^2+3 x-9x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 3 raiz[5]x^3-3 x^2+3 x-9x^2-9
Aqui, estamos lidando com um limite, especificamente verificando se podemos usar a Regra de L’Hospital. Para isso, precisamos checar se, ao substituir , tanto o numerador quanto o denominador se anulam, formando uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 3^3 - 3 cdot 3^2 + 3 cdot 3 - 9 = 27 - 27 + 9 - 9 = 0 no numerador e no denominador:
Numerador:
3^2 - 9 = 9 - 9 = 0
Denominador:
Como obtivemos , temos uma indeterminação e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
então podemos calcular:
limx to a f'(x)g'(x)
ou seja, derivamos o numerador e o denominador separadamente e calculamos o limite novamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador.
Derivada do numerador f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 :
g'(x) = 2x
Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite:
lim x 3 3x^2 - 6x + 32x
Vamos substituir 3(3)^2 - 6(3) + 32(3) = 3 cdot 9 - 18 + 36 = 27 - 18 + 36 = 126 = 2 nessa nova expressão:

Passo 6

Agora, voltamos à expressão original que tinha a raiz quinta. Então, o limite que calculamos foi dentro da raiz. Portanto:
lim x 3 raiz[5]x^3-3 x^2+3 x-9x^2-9 = raiz[5]2 = 2^15

Resposta

lim x 3 raiz[5]x^3-3 x^2+3 x-9x^2-9 = 2^15

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