Verifique se o resultado para a integral está correto ou não. integral cos ^3(x) d x=1 / 4 cos ^4(x)+c.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se o resultado dado para a integral está certinho. O exercício pede para conferir se a integral de cos^3(x) em relação a x realmente é igual a 14 cos^4(x) + C. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos calcular a integral passo a passo e comparar com o resultado fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3(x) de uma forma que facilite a integração. Sabemos que cos^3(x) pode ser escrita como cos(x) cdot cos^2(x). E como cos^2(x) = 1 - sin^2(x), podemos substituir:
cos^3(x) = cos(x) cdot (1 - sin^2(x))

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral cos^3(x) , dx = integral cos(x) cdot (1 - sin^2(x)) , dx
Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja u = sin(x), então du = cos(x) , dx. Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du

Passo 4

Calculando as integrais separadamente:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
Então:
integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C

Passo 5

Voltando para a variável original, u = sin(x):
u - u^33 + C = sin(x) - sin^3(x)3 + C

Passo 6

Portanto, a integral de cos^3(x) é:
integral cos^3(x) , dx = sin(x) - sin^3(x)3 + C

Passo 7

Agora, vamos comparar com o resultado fornecido no exercício:
integral cos^3(x) , dx = 14 cos^4(x) + C
Claramente, os dois resultados não são iguais. Portanto, o resultado dado no exercício está incorreto.

Resposta

A integral de cos^3(x) não é igual a 14 cos^4(x) + C. O resultado correto é sin(x) - sin^3(x)3 + C.

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