Verifique se a sequência é convergente ou divergente, se for convergente encontre o limite
(a)
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites de funções, aplicando técnicas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico à medida que os termos aumentam indefinidamente. Esse número é chamado de limite da sequência. Se a sequência não se aproxima de nenhum número específico, dizemos que ela é divergente.
Passo 3
Para encontrar o limite da sequência
quando
tende ao infinito, vamos analisar o comportamento dos numeradores e denominadores à medida que
cresce.
Passo 4
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos analisar os termos
à medida que
tende ao infinito:
Portanto, podemos substituir
por
na expressão simplificada:
Passo 6
Dessa forma, o limite da sequência é
, o que significa que a sequência
é convergente.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.