Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, queremos encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com cada parte da sequência quando cresce e se aproxima do infinito. Ou seja, queremos calcular .

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
No numerador temos . Sabemos que quando tende ao infinito, tende a 0. Então, o numerador fica:

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador: . Vamos simplificar o expoente:
Quando tende ao infinito, tende a 0, então:
Sabemos que tende a 1 quando vai para o infinito, então:
Portanto, o denominador fica:

Passo 5

Agora que temos os limites do numerador e do denominador, podemos calcular o limite da sequência:

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;
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Dê o termo de ordem das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem .