Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, queremos encontrar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com cada parte da sequência quando
cresce e se aproxima do infinito. Ou seja, queremos calcular
.
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
No numerador temos
. Sabemos que quando
tende ao infinito,
tende a 0. Então, o numerador fica:
Passo 4
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Vamos simplificar o expoente:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0, então:
Sabemos que
tende a 1 quando
vai para o infinito, então:
Portanto, o denominador fica:
Passo 5
Agora que temos os limites do numerador e do denominador, podemos calcular o limite da sequência:
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.