Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, limites e propriedades dos logaritmos e de funções matemáticas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a análise. Sabemos que a raiz quadrada pode ser representada como uma potência de . Então:

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Para muito grande, domina , então podemos aproximar:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que cresce sem limites conforme aumenta, ou seja, tende ao infinito.

Passo 7

Portanto, o limite de é:

Resposta

A sequência diverge, pois seu limite é infinito.

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