Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, limites e propriedades dos logaritmos e de funções matemáticas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a análise. Sabemos que a raiz quadrada pode ser representada como uma potência de
. Então:
Passo 3
Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Para
muito grande,
domina
, então podemos aproximar:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce sem limites conforme
aumenta, ou seja, tende ao infinito.
Passo 7
Portanto, o limite de
é:
Resposta
A sequência
diverge, pois seu limite é infinito.
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Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona.
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, para
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