Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício:
Verifique se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite dela.
Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, que fazem parte da matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e calcular limites quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se, conforme
fica bem grande (tende ao infinito), a expressão
se aproxima de algum número específico (ou diverge, ou seja, não se estabiliza).
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite dessa diferença de raízes, vamos usar uma técnica que envolve multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de
é
. Isso ajuda a simplificar a diferença de raízes.
Passo 4
Vamos multiplicar e dividir a sequência
pela conjugada:
Passo 5
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar o denominador quando
tende ao infinito. Observamos que:
Portanto, o denominador fica aproximadamente:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Isso acontece porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.
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, para
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