Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício:
Verifique se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite dela.
Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, que fazem parte da matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e calcular limites quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se, conforme fica bem grande (tende ao infinito), a expressão se aproxima de algum número específico (ou diverge, ou seja, não se estabiliza).

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite dessa diferença de raízes, vamos usar uma técnica que envolve multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de é . Isso ajuda a simplificar a diferença de raízes.

Passo 4

Vamos multiplicar e dividir a sequência pela conjugada:

Passo 5

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o denominador quando tende ao infinito. Observamos que:
Portanto, o denominador fica aproximadamente:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Isso acontece porque o denominador cresce sem limite, fazendo com que toda a fração se aproxime de zero.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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