Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
, para
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a sequência
, onde
é um número real, converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e sobre crescimento de funções exponenciais versus fatorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Basicamente, isso quer dizer que conforme
fica cada vez maior, os termos da sequência se aproximam de um número específico, que é o limite. Se isso acontecer, a sequência converge; caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. Aqui, temos uma potência de
elevada a
no numerador e o fatorial de
no denominador. A gente precisa ver qual dessas duas partes cresce mais rápido conforme
aumenta.
Passo 4
Sabemos que o fatorial (
) cresce muito mais rápido que uma função exponencial (
) quando
tende ao infinito. Isso significa que, apesar de
crescer, o
no denominador está crescendo ainda mais r��pido, fazendo com que a fração inteira diminua cada vez mais.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos usar o critério de razão ou comparação. Mas de forma intuitiva, já dá pra ver que
domina
para qualquer valor fixo de
. Portanto, conforme
aumenta,
tende a zero.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 0.
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