Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: , para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a sequência , onde é um número real, converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e sobre crescimento de funções exponenciais versus fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Basicamente, isso quer dizer que conforme fica cada vez maior, os termos da sequência se aproximam de um número específico, que é o limite. Se isso acontecer, a sequência converge; caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência . Aqui, temos uma potência de elevada a no numerador e o fatorial de no denominador. A gente precisa ver qual dessas duas partes cresce mais rápido conforme aumenta.

Passo 4

Sabemos que o fatorial ( ) cresce muito mais rápido que uma função exponencial ( ) quando tende ao infinito. Isso significa que, apesar de crescer, o no denominador está crescendo ainda mais r��pido, fazendo com que a fração inteira diminua cada vez mais.

Passo 5

Para formalizar isso, podemos usar o critério de razão ou comparação. Mas de forma intuitiva, já dá pra ver que domina para qualquer valor fixo de . Portanto, conforme aumenta, tende a zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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