Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a sequência . Nosso objetivo é verificar se essa sequência converge ou diverge quando tende ao infinito. Se ela convergir, também queremos descobrir qual é o seu limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e propriedades de funções contínuas e de radiciação.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de quando fica muito grande. Observamos que tanto quanto crescem com o quadrado de , então as raízes cúbicas desses termos vão depender do crescimento de .

Passo 3

Para facilitar, podemos fatorar dentro da raiz cúbica:
E da mesma forma:

Passo 4

Agora, podemos reescrever como:

Passo 5

Para encontrar o limite quando , notamos que , então podemos aproximar as raízes cúbicas usando a expansão em série de Taylor para pequenos valores de :
Aplicando isso:

Passo 6

Substituindo na expressão de :

Passo 7

Observamos que tende a zero quando , portanto:

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é 0.

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