Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a sequência . Nosso objetivo é verificar se essa sequência converge ou diverge quando tende ao infinito. Se ela convergir, também queremos descobrir qual é o seu limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e propriedades de funções contínuas e de radiciação.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de quando fica muito grande. Observamos que tanto quanto crescem com o quadrado de , então as raízes cúbicas desses termos vão depender do crescimento de .
Passo 3
Para facilitar, podemos fatorar dentro da raiz cúbica:
E da mesma forma:
Passo 4
Agora, podemos reescrever como:
Passo 5
Para encontrar o limite quando , notamos que , então podemos aproximar as raízes cúbicas usando a expansão em série de Taylor para pequenos valores de :