Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O objetivo é verificar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, determinar seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o numerador e o denominador da sequência separadamente. No numerador, temos
. Sabemos que
oscila entre 0 e 1 para qualquer valor de
, ou seja:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
. À medida que
cresce,
domina o termo constante 1, fazendo com que o denominador cresça muito rapidamente para o infinito.
Passo 4
Com base nisso, podemos fazer uma comparação simplificada da sequência:
Isso nos mostra que
está limitada entre 0 e
.
Passo 5
Vamos agora calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como
está entre 0 e algo que tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperfeiçoamento), podemos concluir que:
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.
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