Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é verificar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, determinar seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador e o denominador da sequência separadamente. No numerador, temos . Sabemos que oscila entre 0 e 1 para qualquer valor de , ou seja:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador . À medida que cresce, domina o termo constante 1, fazendo com que o denominador cresça muito rapidamente para o infinito.

Passo 4

Com base nisso, podemos fazer uma comparação simplificada da sequência:
Isso nos mostra que está limitada entre 0 e .

Passo 5

Vamos agora calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como está entre 0 e algo que tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperfeiçoamento), podemos concluir que:

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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