Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita que é alternada (porque tem ), e queremos saber se ela converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries, especialmente de séries alternadas e séries absolutas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, a série dos valores absolutos:
Queremos ver se essa série converge.
Passo 3
Sabemos que a série dos fatoriais é convergente, pois cresce muito rápido, fazendo os termos tenderem a zero rapidamente. No nosso caso, estamos somando apenas os termos com índices ímpares, mas como a série completa converge, qualquer sub-série dela também convergerá.
Passo 4
Agora, como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é condicionalmente convergente, mas a convergência absoluta é uma propriedade mais forte.