Se
é a unidade imaginária e
um estudante fez as seguintes afirmações:
I)
II)
III)
IV)
V)
Verifique quais estão corretas e quais estão incorretas, justifique com cálculos.
I)
II)
III)
IV)
V)
Verifique quais estão corretas e quais estão incorretas, justifique com cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre números complexos! A gente tem uma expressão envolvendo a unidade imaginária
e precisa verificar se as cinco afirmações sobre
estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular potências de
, simplificar expressões complexas e trabalhar com conceitos como módulo e conjugado de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para
:
Sabemos que as potências de
se repetem a cada 4 termos:
Então, vamos simplificar cada potência:
Agora, substituindo de volta em
:
Passo 3
Vamos simplificar a fração
. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar o número imaginário no denominador.
O conjugado de
é
, então:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos verificar cada uma das afirmações:
Afirmação I)
O módulo de um número complexo
é
.
Para
, temos
e
:
Resposta: Incorreta.
Afirmação II)
O conjugado de
é
.
Resposta: Correta.
Afirmação III)
Vamos calcular
:
Então:
Como
, a afirmação está correta.
Resposta: Correta.
Afirmação IV)
Sabemos que
e
:
Resposta: Incorreta.
Afirmação V)
Vamos multiplicar
e
:
Resposta: Correta.
Resposta
As afirmações II), III) e V) estão corretas, enquanto as afirmações I) e IV) estão incorretas.