Se i é a unidade imaginária e z=i^15+i^16i^17-i^18 um estudante fez as seguintes afirmações:
I) |z|=2
II) barz=i
III) barZ=(cos pi2+i sen pi2)
IV) z+barz=-1
V) barz z=1
Verifique quais estão corretas e quais estão incorretas, justifique com cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre números complexos! A gente tem uma expressão envolvendo a unidade imaginária e precisa verificar se as cinco afirmações sobre estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular potências de , simplificar expressões complexas e trabalhar com conceitos como módulo e conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para z = i^15 + i^16i^17 - i^18 :
i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i e assim por diante
Sabemos que as potências de z = (-i) + 1i - (-1) = 1 - ii + 1 se repetem a cada 4 termos:
Então, vamos simplificar cada potência:
Agora, substituindo de volta em :

Passo 3

Vamos simplificar a fração z = 1 - i1 + i cdot 1 - i1 - i = (1 - i)^2(1)^2 - (i)^2 . Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar o número imaginário no denominador.
O conjugado de (1 - i)^2 = 1^2 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i é 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2 , então:
z = -2i2 = -i
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:

Passo 4

Agora que sabemos que |z| = raiz0^2 + (-1)^2 = raiz1 = 1 , podemos verificar cada uma das afirmações:
Afirmação I) cos pi2 = 0, sin pi2 = 1
O módulo de um número complexo cos pi2 + i sin pi2 = 0 + i cdot 1 = i é z + barz = -i + i = 0 .
Para barz cdot z = i cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1 , temos e :
Resposta: Incorreta.
Afirmação II)
O conjugado de é .
Resposta: Correta.
Afirmação III)
Vamos calcular :
Então:
Como , a afirmação está correta.
Resposta: Correta.
Afirmação IV)
Sabemos que e :
Resposta: Incorreta.
Afirmação V)
Vamos multiplicar e :
Resposta: Correta.

Resposta

As afirmações II), III) e V) estão corretas, enquanto as afirmações I) e IV) estão incorretas.

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