Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(f)
dada por
;
(f)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação
que vai de
para
, ou seja, pega vetores de três dimensões e os transforma em outros vetores de três dimensões. A transformação é definida por:
Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação
é linear se ela respeita duas propriedades:
- Adição de vetores: Para quaisquer vetores
e em ,
- Multiplicação por escalar: Para qualquer vetor
em e qualquer escalar ,
Além disso, uma propriedade importante é que
, onde
é o vetor nulo.
Vamos verificar essas propriedades para a transforma��ão
dada.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
.
O vetor nulo em
é
. Aplicando
:
Então,
. Isso está de acordo com a propriedade das transformações lineares.
Passo 4
Agora, vamos verificar a adição de vetores. Seja
e
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
em
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Somando os resultados:
Que é exatamente o mesmo que
. Portanto, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
em
:
Agora, calculamos
:
Que é exatamente o mesmo que
. Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz todas as propriedades de linearidade (adição de vetores, multiplicação por escalar e mapeia o vetor nulo no vetor nulo), podemos concluir que
é uma transformação linear.