Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(f) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y);

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação T(x, y, z) = (x - 2y, , z, , x + y) que vai de para , ou seja, pega vetores de três dimensões e os transforma em outros vetores de três dimensões. A transformação é definida por:
Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se ela respeita duas propriedades:
  1. Adição de vetores: Para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e em ,
  1. Multiplicação por escalar: Para qualquer vetor em e qualquer escalar ,
Além disso, uma propriedade importante é que , onde é o vetor nulo.
Vamos verificar essas propriedades para a transforma��ão dada.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se T(0, 0, 0) = (0 - 2 cdot 0, , 0, , 0 + 0) = (0, 0, 0) .
O vetor nulo em é . Aplicando :
Então, . Isso está de acordo com a propriedade das transformações lineares.

Passo 4

Agora, vamos verificar a adição de vetores. Seja T(u + v) = ( (x1 + x2) - 2(y1 + y2), , z1 + z2, , (x1 + x2) + (y1 + y2) ) e = (x1 + x2 - 2y1 - 2y2, , z1 + z2, , x1 + x2 + y1 + y2) .
Primeiro, calculamos T(u) = (x1 - 2y1, , z1, , x1 + y1) .
Aplicando T(v) = (x2 - 2y2, , z2, , x2 + y2) em T(u) + T(v) = (x1 - 2y1 + x2 - 2y2, , z1 + z2, , x1 + y1 + x2 + y2) :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando os resultados:
Que é exatamente o mesmo que . Portanto, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = (cx - 2(cy), , cz, , cx + cy) = (c(x - 2y), , cz, , c(x + y)) um escalar e T(u) = (x - 2y, , z, , x + y) .
Primeiro, calculamos cT(u) = (c(x - 2y), , cz, , c(x + y)) .
Aplicando em :
Agora, calculamos :
Que é exatamente o mesmo que . Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação satisfaz todas as propriedades de linearidade (adição de vetores, multiplicação por escalar e mapeia o vetor nulo no vetor nulo), podemos concluir que é uma transformação linear.

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