Verifique se as transformações abaixo são lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma transformação linear
definida por
. O conteúdo aqui é sobre transformações lineares em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear dos vetores.
Passo 3
Vamos testar a primeira propriedade, a adição vetorial. Seja
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que
e
, a menos que
ou
sejam zero, o que não é geral. Portanto, a propriedade da adição vetorial não é satisfeita.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos visto que a primeira propriedade não se cumpre, vamos também verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar, para completar a análise.
Seja
um escalar e
. Então:
Aqui,
não é igual a
, a menos que
, o que novamente não é geral. Então, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
não satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar,
não é uma transformação linear.
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.
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.
Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando
e antissimétrica quando
. © Determine os valores de
e
a fim de que a matriz
seja antissimétrica.