Verifique se as transformações abaixo são lineares: F: R^3 R^3, F(x, y, z)=(x, 2^y, 2^z).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma transformação linear definida por . O conteúdo aqui é sobre transformações lineares em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição vetorial:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade, a adição vetorial. Seja F(u + v) = F(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ( x1 + x2, 2^y1 + y2, 2^z1 + z2 ) e F(u) + F(v) = (x1, 2^y1, 2^z1) + (x2, 2^y2, 2^z2) = ( x1 + x2, 2^y1 + 2^y2, 2^z1 + 2^z2 ) .
Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que e , a menos que ou sejam zero, o que não é geral. Portanto, a propriedade da adição vetorial não é satisfeita.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos visto que a primeira propriedade não se cumpre, vamos também verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar, para completar a análise.
Seja F(cu) = F(cx, cy, cz) = ( cx, 2^cy, 2^cz ) um escalar e cF(u) = c cdot (x, 2^y, 2^z) = ( cx, c cdot 2^y, c cdot 2^z ) . Então:
Aqui, não é igual a , a menos que , o que novamente não é geral. Então, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.

Resposta

Como a transformação não satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar, não é uma transformação linear.

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