Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(i)
dada por
(conhecida como operador identidade);
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma certa transformação é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e depois aplicar essas condições à transformação dada, que no caso é o operador identidade, definido por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores
em
e para todo escalar
:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura linear dos vetores seja preservada pela transformação
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas duas propriedades à transformação dada
.
Primeira propriedade: Adição de vetores
Vamos verificar se
:
-
(já que apenas retorna o vetor) -
Então,
está satisfeita.
Segunda propriedade: Multiplicação por escalar
Vamos verificar se
:
Assim,
também está satisfeita.
Passo 4
Como a transformação
cumpre ambas as propriedades necessárias para ser linear, podemos concluir que ela é, de fato, uma transformação linear.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.