Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(i) T: V V dada por T(v)=v (conhecida como operador identidade);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se uma certa transformação é linear. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que define uma transformação linear e depois aplicar essas condições à transformação dada, que no caso é o operador identidade, definido por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores em e para todo escalar :
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura linear dos vetores seja preservada pela transformação .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas duas propriedades à transformação dada .
Primeira propriedade: Adição de vetores
Vamos verificar se :
  • (já que apenas retorna o vetor)
Então, está satisfeita.
Segunda propriedade: Multiplicação por escalar
Vamos verificar se :
Assim, também está satisfeita.

Passo 4

Como a transformação cumpre ambas as propriedades necessárias para ser linear, podemos concluir que ela é, de fato, uma transformação linear.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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