Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(g)
dada por
;
(g)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se uma transformação
definida por
é linear. A matéria envolvida aqui é transformações lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz
. O vetor zero em
é
.
Calculando
:
Como
e não
, já podemos concluir que
não é uma transformação linear. Não precisamos verificar as outras propriedades porque já falhamos na condição inicial necessária para linearidade.
Resposta
A transformação
não é linear porque não leva o vetor zero ao vetor zero.