Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(g) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+2, y+1, z);

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se uma transformação definida por é linear. A matéria envolvida aqui é transformações lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se T(0, 0, 0) = (0 + 2, 0 + 1, 0) = (2, 1, 0) satisfaz . O vetor zero em é .
Calculando :
Como e não , já podemos concluir que não é uma transformação linear. Não precisamos verificar as outras propriedades porque já falhamos na condição inicial necessária para linearidade.

Resposta

A transformação não é linear porque não leva o vetor zero ao vetor zero.

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